” 小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字： “了解。” 学过数学的朋友应该都知道。 导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。 眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。 在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。 速度=路程/时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办？ 比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢？ 数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。 于是牛顿想了一个很聪明的办法： 取一个”很短”的时间段△t，先算算t=2到t=2＋△t这个时间段内，平均速度是多少。 v=s/t=（4△t＋△t^2）/△t=4＋△t。 当△t越来越小，2＋△t就越来越接近2，时间段就越来越窄。 △t越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。 如果△t小到了0，平均速度4＋△t就变成了瞬时速度4。 当然了。 后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。 如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人……咳咳，小学生也知道0不能做除数。 到如果不是0，4＋△t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。 按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。 这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？ 贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。 甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次，跟七个小矮人似的，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。 这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。 但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。 这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。 偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。 总而言之。 在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。 徐云见状又写到： 对f(k＋1)求导，可得f(k＋1)'=e^x－1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！ 由假设知f(k＋1)'＞0 那么当x=0时。 f(k＋1)=e^0－1－0/1！－0/2！－.－0/k＋1！=1－1=0 所以当x＞0时。 因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0 所以当n=k＋1时f(k＋1)=e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）成立！ 最后徐云写到： 综上所属，对任意的n有： e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！（x＞0） 论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。 只见此时此刻。 这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。 诚然。 以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。 但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。 这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。 所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。m.DAｍIｎｇＰuＭP.ＣOm